二重积分极坐标r的范围怎么确定_二重积分极坐标的角度范围怎么确定
二重积分极坐标r的范围怎么确定
二重积分极坐标r的范围是从y等于x的平方,到x=1。该区域是在射线x轴与y=x内,在该区域内,从原点出发,穿入、穿出该区域所遇到的曲线,就是r的上下限范围。
极坐标属于二维坐标系统,创始人是牛顿,主要应用于数学领域。极坐标是指在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°)。
学不到的“二重积分”最直观的描述
一元微积分,二重积分,三重积分贯穿着整个数学分析,教材上严谨的数学推导既整洁又枯燥
本篇带你走进不一样的微积分时空,让你感受到不一样美。
如图是一个三维空间的立体模型
把他翻转到ZX面,每一个微小的面积就是Zxdx
整体的面积就是:所有微小面积的叠加之和
所有的和写成一元积分的形式:
换到Y轴上,这一小块的体积就是ZX面上的面积乘以Y轴上的厚度
所以得到:总面积乘以微小的厚度dy
整个Y轴上的厚度不断累加,就得到用黎曼和表示的体积
所以得到用积分表示和的累加的结果:二重积分公式
我们换到ZY面上,同理得到ZY面上的面积
空间上dx就是微小的高度,整体的体积就是
所以就得到两个方向上等价的体积公式:二重积分
如果将立体结构转换到极坐标空间中:
因为是旋转的,我们取微小的旋转角度dθ,根据弧度制,dθ对应的弧长就是Rdθ
这个Rdθ在立体上就表示宽度
旋转的微小半径就是dR
高度是Z,所以微小块的体积就是ZxdRxRdθ
所有R方向上的总体积就是
写成一元积分形式
整个圆周上体积之和就是
写成积分的形式:得到极坐标下的二重积分
另一个思路:一圈的体积就是
R方向上体积总和就是
写成积分的形式
上述就是二重积分在空间中最直观的描述。