大数定律简单例子(大数定理简单的说是什么意思)

大数定理简单的说是什么意思

大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。即当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

终于有人把大数定律讲明白了

导读：在一些情况下，概率是由频率推导而来的，要得到可信的概率，就要大量重复地试验。而且，重复试验的次数越多，结论就越让人信服。那么，为何人们直觉上更愿意相信从大数据中得到的统计结果，而不是从小数据中得到的经验呢？

作者：徐晟

来源：华章科技

要解释这一现象，统计学中有一个非常重要的理论——大数定律。该定律表明，样本数量越多，结论就越接近真实的概率分布。也就是说，在重复的试验中，随着试验次数不断增加，事件发生的频率会越来越趋于一个稳定的数值，即它的概率。

大数定律最早是由数学家伯努利在他的《推测术》中提出的。该书由4个部分组成，前3部分主要是对古典概率的系统性阐述，第4部分是这本书的精华，主要探讨了概率论在社会、道德和经济领域的应用，其中就提到了大数定律以及它的证明过程。

只有基于大量的统计数据，才能得到更为准确的统计结果。这个结论虽然直觉上好理解，但以前没有人证明过它。

伯努利的伟大之处就在于，他用数学严格证明和解释了这个直觉经验：只要通过大量试验，人们观察得到的频率和实际的概率之间的差距就会越来越小，而且只要重复次数足够多，这个误差就能够小于任意小的正数。这也是概率论历史上第一个极限定理。

由伯努利首先研究并推广的大数定律，已经成为整个统计学的基础。随后经过几百年的发展，大数定律的理论体系被不断完善，切比雪夫、辛钦、泊松、马尔可夫等一系列大数定理被提出和证明，它们都是基于大数定律的某种数学表达。

不过，人们仍然对伯努利大数定律的哲学意义给出了很高的评价。伯努利自己在《推测术》的最后说道：如果我们能把一切事件永恒地观察下去，那么我们终将发现，世间的一切事物都受到因果律的支配，而我们注定会在种种极其杂乱的现象中认识到某种必然。

大数定律告诉我们，随机事件重复发生后，其可能性结果会趋于一种稳定的状态。它揭示了随机事件发生频率的长期稳定性，体现了偶然之中包含的一种必然。

大数定律已经广泛应用到宏观经济学、量子热力学、空气动力学等各个领域。

生活中很多地方也能看到它的身影。比如你想换部手机，于是在网上搜索手机的相关信息，突然发现一个人对某品牌型号的手机赞不绝口，这时你该怎么做？轻易地相信对方？或选择再看看别人的评价？大数定律的建议是，如果评论人数很少，这些评论就不能很好地反映商品的真实价值。

那些在网站上排名靠前、评价极高的商品、视频、资讯，可能只是因为有少数人给出了极高的分数，或是商业广告推荐。它们仅仅是个案。只有参考大部分人的评价，才更接近真实情况，数据结论才更有价值。

今天被人们经常提及和用到的蒙特卡洛方法，其理论依据就是大数定律。

蒙特卡洛方法是由数学家冯·诺伊曼、乌拉姆等人最早发明的，也称统计模拟方法。蒙特卡洛不是人名，而是摩纳哥的一座城市，它是世界上著名的赌城。蒙特卡洛方法是一种基于概率的计算方法，它将求解问题和概率模型关联起来，不断从总体中抽取随机样本，通过模拟和计算得到近似解。此方法随着计算机技术的发展被迅速普及。

蒙特卡洛方法的原理很朴实，简单来说就是不断抽样，逐渐逼近。比如要计算圆周率π，可以先让计算机模拟一个正方形和里面的一个圆，如图1-2所示。

▲图1-2 用蒙特卡洛方法计算圆周率示意图

随后让计算机不断模拟向正方形中随机地“撒点”。统计落在圆内的点的数量和所有正方形中点的数量的比值，并将它近似看成是圆形和正方形的面积的比值，即π/4。只要模拟数据点足够多，就能近似计算出圆周率π。模拟的数据越多，计算结果就越逼近真正的π值。

蒙特卡洛方法别看原理简单，其实使用起来相当灵活。它能用于很多需要“枚举”的算法，比如下围棋、走迷宫，或计算任何不规则几何图形的面积。

关于作者：徐晟，某商业银行IT技术主管，毕业于上海交通大学，从事IT技术领域工作十余年，对科技发展、人工智能有自己独到的见解，专注于智能运维（AIOps）、数据可视化、容量管理等方面工作。

本文摘编自《大话机器智能：一书看透AI的底层运行逻辑》，经出版方授权发布。（ISBN：9787111696193）

《大话机器智能：一书看透AI的底层运行逻辑》

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大数定律，就像紧箍咒

大数定律就像一根绳索，用整体的确定性约束着局部的随机性，随着数据的增加把频率这个口袋越勒越紧。

概率论解决问题的核心思路：把局部的随机性转化为整体上的确定性。

要实现这个转化，靠的是什么呢？当然就是“概率”。当一件事的概率确定了，它在整体上发生的可能性就确定了。

我们是如何度量概率的呢？

简单来说，常用的度量概率的方法有三种——定义法、频率法、迭代法。其中频率法背后对应的是大数定律，迭代法对应的是贝叶斯定律。

本文主要讨论像“黄金一样贵重”的大数定律。

频率法，就是利用频率度量概率。

频率法认为，在有足够多的数据的情况下，随机事件发生的频率会无限接近它真实的概率。

频率：一个随机事件出现的次数除以整体事件的次数，得到的值就是这个随机事件发生的频率。

比如，很多人认为飞机是一种危险的交通工具，到底有多危险呢？衡量飞机的危险性，最直接的方法就是计算失事率嘛。我们用过去这么多年飞机失事的次数，除以飞机总的飞行次数，得出的就是飞机失事的频率。频率法认为，这个飞机失事的频率，就是未来飞机失事的概率。

在频率法的眼中，概率是可以靠随机事件发生的频率来计算出的。也就是说，频率法理解这个世界的底层逻辑是，一个随机事件的发生，是存在一个真实的、客观的概率的。

在这里要区分一下频率法与归纳法：

归纳法只是经验层面的，不可靠。

归纳法目的不是追求可靠性。

归纳法解决的主要问题之一是执果索因，为认识规律做铺垫，推出一般性猜想或假说，然后再运用演绎对其进行修正和补充，直至最后得到物理学的普遍性结论。

数学是逻辑抽象层面的东西，就像现实中不存在没有宽度的线，没有厚度的面。

频率法的基础是大数定律，

大数定律也是因为数学上证明了，才能是绝对正确。

第一个对频率和概率这个关系进行证明的，是雅各布·伯努利，一个十七世纪的瑞士数学家，也是那个时代最有才华的数学家之一。

雅各布·伯努利，他花了20年的时间，证明了这个“不言自明”或者说“显而易见”的结论：随着试验数据不断累积，频率和概率的差距会越来越小。

只要重复的试验或者观测的数据足够多，随机事件发生的频率就会无限接近它的概率。这就是我们现在常说的“大数定律”。

证明过程我们就不讲了，你需要知道的是：正因为在数学上证明了大数定律，我们才从根本上确认了用频率度量概率是合理的。换句话说，频率法是确定靠谱的。

再深入一点，大数定律也证明了：在相同环境、重复试验的条件下，用历史数据预测未来是可行的，也是合理的。这就是统计学的根基，也是很多使用统计学方法进行研究的学科的根基。

所以你看，大数定律是不是很重要？当年雅各布也意识到自己的证明很重要，所以将它称之为“黄金定理”。

事实上，大数定律是一个数学上“无限”的概念，类似于“无穷大”“无穷小”，是永远也无法触达的。在现实中，无限，真的做不到。

所以，为了让这么有用的大数定律在现实中真正发挥作用，必须做一些限制条件，让需要重复的次数，或者采集的数据量变成有限的。

于是，数学家专门设置了两个概念：一个叫“精度误差”，另一个叫“置信度”。这两个都是统计学的概念，不展开。

整体的确定性来对抗局部的随机性

雅各布花20年时间证明了大数定律。其实准确地说，他证明的是“弱大数定律”。

什么是弱大数定律呢？就是说，试验的数量越多，频率接近真实概率的可能性越大。注意，这里说的是“可能性”。也就是说，弱大数定律只证明了，随着数据的增加，频率接近概率的可能性越来越大，而不是100%的一定接近。这在数学上有个专业的名词，叫“依概率收敛”。

弱大数定律是一个伟大的证明。雅各布的伟大之处就在于，他找到了对抗局部随机性的办法，用频率构建起了确定的整体概率。通过他的证明我们知道，不管局部怎么随机，整体概率稳定的可能性是非常大的。

但整体概率稳定的可能性很大和一定稳定，还是有些差别的。只有一定、100%的稳定，才是真正的确定性。

一个世纪前，苏联数学家、概率论的先驱柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)在雅各布的基础上，做出了更加严密的证明，也就是“强大数定律”。

他通过计算证明，随着数据越来越多，频率接近概率不仅是可能性越来越大，而是几乎一定。也就是说，随着数据越来越多，频率最终一定会接近真实概率。

到此为止，我们先用弱大数定律找到了整体，又用强大数定律确定了整体一定是稳定的。大数定律又被称为“黄金定理”，它让我们真正能用整体的确定性来对抗局部的随机性。

现实中的频率都是局部频率

有了整体的确定性，我们就能用大数定律搞定这个世界了吗？

很遗憾，不是的。

因为大数定律起作用有个限制条件，只有在数据无限的情况下，随机事件发生的频率才等于它的概率。但上一讲说了，无限是个数学概念，现实中哪有什么无限呢？

无论我扔多少次硬币，都是有限次数的；无论我记录了多少次飞行的数据，都是有限次数的；无论我记录了一个球员多少场比赛投篮的命中情况，都是有限次数的。准确地说，现实中所有的事情都是有限的。我们记录的所有频率，都只是局部频率。

问题是，只有数据量足够多的时候，局部频率才会接近真实概率。当数据量很少的时候，一件事发生的频率可能和它的真实概率相差很大。

举个例子吧。英国和法国曾经共同研制了一款超音速客机，叫“协和式客机”，1976年投入使用，从巴黎飞到纽约只需要3小时20分钟，比普通民航客机节省超过一半的时间。

协和式客机不仅拥有当时最高级别的安全设计，还有当时最高级别的安全保障，所以在长达24年的飞行中，它没有发生过一起致死事故，一度被认为是世界最安全的飞机。直到2000年7月25日，协和式客机出现了一次坠机事故。

截止那个时候，协和式客机总共飞行了八万多次，因为这次坠机事故，它的致死事故率立即从24年来的0上升到了八万分之一，也就是每百万次飞行失事12次。而作为对比，波音737的飞行超过一亿次，它的致死事故率只有百万分之0.4，只有协和式客机的1/30。

这是协和式客机唯一一次重大事故。但因为这次事故，它一下子从世界上最安全的飞机变成了最危险的。仅仅三年之后，协和式客机就停飞了。

你说波音737真的比协和式客机安全30倍吗？

不一定。因为协和式客机的飞行数据太少了，只有区区八万次，它出事故的频率和真实的事故率之间，可能有很大的误差。

而这个误差到底有多大呢？那次失事是意外，还是飞机的设计真的有缺陷？八万分之一的致死事故率到底比真实概率大，还是比真实概率小？这些我们都无法知道，因为没办法让协和式飞机再飞一亿次了。

我们只知道，当数据有限的时候，局部频率和整体概率之间是有误差的。

只有随着数据量的增加，局部频率才会越来越接近于整体概率。

大数定律就像一根绳索，用整体的确定性约束着局部的随机性，随着数据的增加把频率这个口袋越勒越紧。

整体不需要对局部进行补偿

这种整体对局部的约束作用，是怎么进行的呢？

很多人会有一种朴素的想法，叫作“补偿思维”。举个例子，当硬币连续抛了10次都是正面朝上后，很多人就认为，下一次反面朝上的概率肯定得更高一些。因为只有这样才能补偿不平衡的状况，要不然怎么保证最终硬币正面朝上的概率还是50%呢？

看起来很合理，但我要告诉你的是，这种思维是错的。整体不需要通过补偿来对局部产生作用，大数定律并不通过补偿来实现。

还是刚才的例子，假如抛硬币前10次都是正面，那想让正面朝上的概率稳定在50%，后面是不是得抛出更多的反面来补偿呢？不需要。

比如，我们再抛1000次，假设500次正面，500次反面，没有补偿吧？现在正面的频率是多少呢？510除以1010，下降成了50.50%了。抛10000次，假设5000次朝上，5000次朝下，还是没有补偿，这时候正面朝上的频率，就变成了50.05%，非常接近于50%了。

打个比方，把一勺糖放在一杯水里，你会觉得很甜，可是放到大海里呢？海水的味道几乎不会有任何改变。我们并没有把糖从大海里取出来，糖仍然在，只是大海里的水太多了，一勺糖对它的影响就被削弱，小到可以忽略不计了。就像网上被大家吐槽的，五块钱的玛莎拉蒂跑车的优惠券，优惠五块钱，对买玛莎拉蒂跑车没影响呀。

明白了吧？大数定律不会对已经发生的情况进行补偿，而是利用大量的正常数据，削弱那部分异常数据的影响。正常数据越多，异常数据的影响就越小，直到小到可以忽略不计。

整体通过均值回归对局部起作用

可问题是，我们怎么保证未来一定有大量的正常数据呢？换句话说，整体的确定性到底是如何保证的呢？

这就要涉及到另一个词——均值回归。

均值回归的意思是说，如果一个数据和它的正常状态偏差很大，那么它向正常状态回归的概率就会变大。现实中，均值回归的例子很多。比如，身高特别高的人，孩子往往不如他高；连续几年超高收益率的基金经理，后几年往往神奇不在……怎么理解这种现象呢？

其实，均值回归更准确的叫法应该是“趋均值回归”，趋向均值的方向回归。所以它产生作用的对象，是那些特殊的、异常的、极端的数据。这些异常的状态是没法长期持续的，所以回归正常值的概率会变大。不过，至于是比正常值稍微高一些，还是稍微低一些，都有可能，完全是随机的。

比如，一个同学正常的数学水平是80分，这次超水平发挥考了100分，下一场考试，他大概率考不到100分，但可能考90分，可能考80分，也可能考70分。这些都比100分正常，都更接近他的真实水平，所以都是均值回归。而不是说上次考100分，这次只能考60分、50分来补偿上次的高分。

再比如，卡尼曼在《思考快与慢》里说到了一个例子：当卡尼曼在给以色列经验丰富的飞行军官培训的时候说道，对良好行为的嘉奖比对错误行为的批评更有效的原则时，有军官表示很不屑，挑衅道：“我觉得批评更容易让士兵取得进步，根据我这么多年的经验，凡事表现差的士兵被我批评后，你看他下次一定表现的更好；而凡事表现好被我夸奖的士兵，他下一次一定表现的差。”卡尼曼那一刻产生了顿悟：其实无论是批评还是表扬，都会是这种现象，因为你不可能永远表现优异，也不可能永远表现很差，你下一次更大可能会往正常水平靠近一点点，这叫做“回归均值现象”。

现在有些家长觉得自己的孩子必须一直成绩分数很高，这都是不切实际的幻想。其实我们人发展的规律总是“波浪式”的，你只需要保证它的趋势线朝上即可，再加上耐心，该来的总会来，即使最终还是没来，你也不枉此生，这个升级，进化的过程本生就很美好。

总之，大数定律不需要补偿，而是通过均值回归，通过产生大量的正常数据，削弱之前异常数据的影响。

明白了这个道理，再去审视我们的生活，很多现象就好理解了。比如我们经常会说一些俗语，运气不好的时候，会说“三十年河东，三十年河西”；打牌或者玩游戏连着输的时候，会说“否极泰来”。怎么理解这些话呢？

严格地说，都有一定的道理，但又都不全对。

为什么说有一定的道理呢？因为它们蕴含了朴素的概率思维，知道在大多数情况下，不正常的状态难以持续。正常情况下，谁的运气也不可能一直坏嘛。

为什么说它们不全对呢？因为不管是“三十年河东，三十年河西”，还是“否极泰来”，背后都蕴含着刚才我们说的补偿思维，认为三十年河东后，之后三十年一定河西；“否极”后一定会“泰来”，一定有好运气。

而我们现在知道，大数定律不需要通过补偿来实现。极度的坏运气过后不一定就有好运气，而是通过均值回归，让运气回到不那么坏的正常状态。所以更准确的说法应该是，“否极”后，可能“泰来”，也可能是回到运气不好不坏的状态，都有可能。

备注：本文部分内容引自刘嘉丨概率论。