六棱柱面积-六棱柱的体积怎么求

六棱柱的体积怎么求

六棱柱的体积V=Sh，S为底面积，h为高。六棱柱底面为正六边形，且六个侧棱均与底面垂直。有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱柱是几何学中的一种常见的三维多面体，指上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体。若棱柱的底面为n边形，那么该棱柱便称为n-棱柱。如三棱柱就是底面为三角形的棱柱。

棱柱是多面体中最简单的一种，我们常见的一些物体，例如三棱镜、方砖以及螺栓的头部，它们都呈棱柱的形状。

高中数学：简化立体几何运算的几种方法

要培养运算能力，就要掌握简化立体几何运算的方法，那么怎样简化立体几何运算呢？

一、一般问题特殊化

有些选择题或填空题，若根据题意直接解答运算很繁，把一般问题特殊化，可简化运算过程。

例1. 正四棱锥相邻两侧面形成的二面角为，则的范围是

A.

B.

C.

D.

解：如图1，正四棱锥S－ABCD，过A作AE⊥SB于E”，连CE。

图1

由三角形全等容易证得∠AEC是二面角的平面角。考虑特殊位置V，当S无限接近O点时，接近π；当S距平面ABCD无限远时，α接近

，α的范围是。故选D。

二、整体估算

有些立体几何选择题，若直接解答十分繁杂，若采用整体估算则十分简单。

例2. 如图2，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，

，EF与面ABCD的距离为2，则多面体EF－ABCD的体积是

图2

A.

B. 5 C. 6 D.

解：连结EB、EC得四棱锥E－ABCD，它的高h＝2，SABCD＝9，四棱锥E－ABCD的体积

。

因为

，即

。故应选D。

三、用公式求二面角

一个平面上的图形面积为S原，它的另一个面上的射影的图形面积为S射，这两个面的夹角为α，则有

，即

。利用这公式求二面角的大小，不需要找二面角的棱确定二面角的平面角，显然可以简化运算。

例3. 正方体

中，E是BC的中点，求平面

与平面ABCD所成二面角的大小。

解：如图3，连结DB、DE，因为

都垂直于平面ABCD，则△DBE是△D1B1E在平面ABCD上的射影。

图3

设正方体的棱长为1，易知

。

所以

。

设所求二面角为α，则

，故α＝

。即平面与平面ABCD所成的二面角为。

四、运用三棱锥的体积求点面距离

求点面距离的一般思路是过点向平面作垂线，确定垂足位置和表示距离的线段长，这样作解答难，运算繁。如果构造三棱锥，把所求距离转化为三棱锥的高，通过三棱锥的体积求点面距离，可简化运算。

例4. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离。

解：如图4，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。

图4

设点B到平面EFG的距离为h，BD＝

，EF

，CO＝

。

。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由

，得

·

GC，所以解得

。

故点B到平面EFG的距离是

。

构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

五、变换图形的位置

根据待解题目给出图形求解，有时运算很繁。若变换图形的位置，便于求解，可简化运算。

例5. 已知三棱锥V－ABC的三个侧面VAB、VBC、VAC互相垂直，且其面积依次为6、4、3。求此三棱锥的体积。

图5

解析：根据已知条件用左图求三棱锥V－ABC的体积，解答难，运算繁。若改变为右图，求三棱锥A－VBC的体积，可简化运算。

因为平面VAB、VBC、VAC两两互相垂直所以VA、VB、VC互相垂直，从而VA⊥平面VBC。

设VA＝x，VB＝y，VC＝z，则xy＝12，yz＝8，zx＝6。三式相乘，得

，因

，所以

。

。

六、运用分割法

求某种几何体的体积，直接求解运算很繁。若注意用分割法，则可简化运算。

例6. 如图6，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA、BC的公垂线段ED＝h，求三棱锥P－ABC的体积。

图6

解：连BE、EC。因为PA⊥BC，PA⊥ED且BC

ED＝D，所以PA⊥平面BEC。

因

，所以

，

·PE＝

。

七、运用等积代换

有些求体积问题，根据公式直接求解，运算很繁，又需要许多证明，若通过等积代换，可简化运算。

例7. 斜三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面与它的对棱的距离为a，求这个棱柱的体积。

解：如图7，设斜三棱柱

中，侧面BB”C”C面积为S，与它的对棱A”A间的距离为a。

图7

连C”A、C”B，则有

。

调查顶点和底面，有三棱锥A－BC”C，于是

。

因为A”A∥B”B，B”B

平面BB”C”C，所以A”A∥平面BB”C”C。

由此可知，A”A到侧面BB”C”C的距离a等于三棱锥A－BC”C的高。

因为

所以

。

所以

。

八、倍角α为自变量使问题三角化

涉及立体几何的最值问题，若设线段的长度为自变量常出现根式运算；如果设角为自变量，可避免根式运算，简化解题过程。

例8. 如图8，利用仓库两墙互相垂直的墙角，把一块长方形木板的两条边紧靠在两堵墙上，使地面、木板和两堵墙围成一个直三棱柱，若已知木板长为a，宽为b（

），问如何围法可使三棱柱容积最大？

图8

解：设∠ABC＝α（

），直三棱柱的体积为V，则有：

当且仅当

，即

°时，V取最大值

。

容积的大小不仅与角α有关，还与木板是a边还是b边着地有关，因此还有

当且仅当，即α＝45°时，体积V”取得最大值

因为，所以

。

由此可知，当长方形木板较长边着地，并且使围成的直三棱柱的底面为等腰直角三角形时，所围成的直三棱柱容积最大。

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高中数学空间几何体的外接球问题探究

空间几何体的外接球问题探究

文/强哥

【摘要】尽管新课标对球的考查降低了要求，球面距离在考试中已经不会出现，现在的高考对多面体与球的考查是非常基础的，但这并不意味着可以忽视这部分的教学，在平时的教学中发现，只要是与球有关的问题，学生都无从下手，因此将空间几何体的外接球问题的类型及解法进行多方面的探讨。

【关键词】高中数学；空间几何体；外接球；球心

空间几何体的外接球问题是高考试题的热点问题之一，因为与球有关的几何体很难直观地作出图像，所以这类问题对学生的空间想象能力以及化归能力要求很高。下面介绍几种与空间几何体外接球有关的问题，并归纳总结确定外接球球心的常见方法。

一．求球的内接几何体问题

将立体几何问题化归为平面几何问题是重要的解题方法，因此在空间几何体中寻找平面是主要的解题方法，从不同角度分析截面，归纳有效的平面，设球心到截面的距离为

，截面圆的半径为

，球的半径为

，则有

。

例1.（2012年新课标理11）已知三棱锥

的所有顶点都在球

的求面上，

是边长为

的正三角形，

为球

的直径，且

,则此棱锥的体积为（ ）

【解析】

的外接圆的半径

，点

到面

的距离

为球

的直径

点

到面

的距离为

此棱锥的体积为

。

例2. （2011年新课标理15）已知矩形

的顶点都在半径为4的球

的球面上，且

,则棱锥

的体积为 。

【解析】设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=

,

OM=

，

。

二．求空间几何体的外接球

1．与长方体有关的外接球问题

长方体从一个顶点出发的三条棱分别为

，则体对角线长为

，几何体的外接球直径

为对角线长

，即

因此将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。

（1）三条棱两两垂直的几何体的外接球

例3. （2008年福建理15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为

，则其外接球的表面积是____.

【解析】由题意，可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径,则其外接球的半径

于是其表面积

例4.三棱锥

中，

平面

，

，若

，则该三棱锥的外接球的体积是 。[来源:学科网ZXXK]

【解析】“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示：

它的对角线PC是其外接球的直径，所以

故它的体积为：

（2）正四面体的外接球

例5. （2006年山东理12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）

A．

B.

C.

D.

【解析】有题设可知，三棱锥

为棱长是1的正四面体，其外接球的半径为

，于是三棱锥外接球的体积为

（3）相对棱两两相等的四面体的外接球

例6.四面体

中，

求四面体

外接球的表面积.

【解析】由题意，可将四面体

补成棱长分别为3,4,5的长方体，长方体的外接球即为四面体

的外接球，所以其外接球的半径

所以四面体

外接球的表面积为

2.具有公共斜边的直角三角形的几何体的外接球

利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等这个原理，若几何体是由有公共斜边

的几个直角三角形组成，那么斜边中点就是几何体外接球球心.

例4．方法二：“找球心”（到三棱

锥四个顶点距离相等等的点）.注意到

是

和

的公共的斜边，

记它的中点为

，则

，即该三棱锥的外接球球心为

，半径为1，故它的体积为

例7.如图，平面四边形

中，

，

，将其沿对角线

折成四面体

，

使平面

平面

，若四面体

顶点在同

一个球面上，则该球的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【解析】由已知可求得

因为

又因为

，所以

的中点为球心，所以半径

球的体积

三．一般三棱锥的外接球

一般几何体的外接球问题是难点，要找出球心即到各个顶点距离相等的点，需充分利用多边形外接圆圆心到多边形顶点距离相等原理，再结合轨迹知识从而找到球心.

例8.已知三棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）

【解析】由三视图可知，几何体底面是顶角为

，底边长为

的等腰三角形，所以其外接圆的直径

球心到截面距离

所以外接球半径

外接球体积

四．其它特殊几何体的外接球

正棱锥、正棱柱、圆锥、圆柱这些特殊几何体的外接球问题，也是高考的重点内容之一，要充分利用这些特殊几何体的性质，尤其是对称性，找到球心位置，从而求出外接球的体积或表面积.

例9.（2008年新课标理15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

，底面周长为3，则这个球的体积为 ．

【解析】因为正六边形周长为3，得边长为

故其主对角线为1，从而球直径

所以球的体积

.

例10.（2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为

，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A.

B.

C

.

D.

【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为

的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球半径为

球的表面积为

例11.正四棱锥

的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为

，则这个球的表面积为 .[来

【解析】正四棱锥

的外接球的球心在它的高

上，

记为

，

或

（此时

在

的延长线上），在

中，

得

，∴球的表面积

例12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________.

【解析】由三视图可知，几何体是圆锥，该圆锥的外接球球心在高所在直线上，球心到圆心的距离

或

，所以

得

，∴球的表面积

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