虚实数的定义(什么是实数和虚数)

什么是实数和虚数

实数包括有理数和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。虚数是指实数以外的复数，其中实部为0的虚数称为纯虚数。

数的分类｜复数｜实数、虚数

一、数的分类（复数：实数、虚数）

1、对于复数a+bi(a,b属于R)，当且仅当b=0时，为实数（正实数、负实数）；当且仅当a=b=0时，为实数0；当b≠0时，为虚数；当a=0且b≠0时，为纯虚数。

2、有理数是有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数。

3、正实数：正有理数、正无理数

（1）正有理数

①正整数：1、2、3、4......

②正分数：1/2、1/3、2/3、5/7......

（2）正无理数：π、e、根号2

4、负实数：负有理数、负无理数

（1）负有理数

①负整数：-1、-2、-3、-4......

②负分数：、、、......

（2）负无理数：-π、-e、负根号2

5、零：实数——有理数——整数（0既不是正数也不是负数）

数的分类

6、自然数（0、1、2、3、4......）

（1）奇数、偶数

①奇数：不能被2整除的数叫奇数，如1、3、5、7、9......

②偶数：能被2整除的数叫偶数，如0、2、4、6、8......

（2）质数、合数

①质数（素数）：只有1和它本身这两个因数（因数是指整数a除以整数b(b≠0) 的商正好是整数）的自然数，如100以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

100以内的素数

②合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数，如4、6、8、9、10、12......

③0和1既不是质数也不是合数。

现实 = 实数 + 虚数

物理学家通过建构理论来描述自然，在表达物理理论时，他们会用到如方程、积分、导数等数学对象。在历史的漫漫长河中，随着物理理论的不断发展，物理学家也将更复杂的数学概念用于描述更复杂的物理现象。20世纪初，描述了分子、原子、亚原子粒子等微观粒子的量子力学中，出现了一个特殊的数学对象——虚数，这是一次重大的改变。

虚数i被定义为-1的平方根，它经常作为一种使计算更加便捷容易的工具出现在方程中。几个世纪前，数学家发明了由虚部和实部组成的复数，笛卡尔创造了“虚数”一词，使之与“实数”形成强烈对比。

在数学中，“虚实结合”的复数扮演着重要角色，其中的虚数部分就好比是动物世界里中的独角兽和精灵——神奇、有趣，但与现实无关，科学家并不指望它在物理学中也扮演同样重要的角色。

的确，我们在现实世界中所能测量的一切，都是用实数描述的，这一点在甚至在奇异的量子物理学中也是如此——即便虚数在描述物质的本质时看似必不可少，但所有可能的量子测量产生的结果也仍然都是实数。这就引发了物理学家的一个困惑：对于量子物理学来说，虚数是必不可少的吗？

现在，两项基于相同理论设计的新实验表明，一个遵循量子物理法则的理论，的确需要虚数来描述真实世界。

在量子理论诞生之前，牛顿力学或麦克斯韦电磁学都是用实数来描述物体如何运动、电磁场如何传播。虽然这些理论有时也会使用复数来达到简化计算的效果，但它们的公理仍只使用实数部分。

量子理论的出现从根本上颠覆了这种情况，因为它的构建假设就是用复数表达的。在早期，量子理论中的复数更多地被视为是一种数学上的便利，而非一种基本的构成要素。而复数在量子理论中的应用，也让许多物理学家感到不安，其中就包括量子力学的奠基人之一——埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）。为了描述电子，薛定谔成为首个在量子理论方程中引入复数的人。但他并不认为在物理学层面上，他的方程中的虚数有必要存在。

包含了虚数i的薛定谔方程。

到了在1960年，瑞士物理学家Ernst Stueckelberg证明，所有单粒子实验的量子理论预测都可以同样只用实数推导出来。从那时起，人们的共识就是在量子理论中，复数只是一个为了方便而被引入的工具而已。

自那之后，一些物理学家试图只用实数来构建量子理论，用所谓的“实量子力学”来避开虚数部分。但是问题在于，物理学家一直无法对这些“实量子力学”理论进行实验验证。因此，关于虚数在量子理论中是否必要的问题，仍然存在。

今年1月，维也纳量子光学和量子信息研究所的物理学家在预印网站arXiv上提交了一篇论文，在这篇论文中，他们提出了一个对“实量子力学”理论发起验证的实验计划。

这个实验计划受到贝尔测试的启发，贝尔测试是一个可用于检验量子特性究竟是由定域隐变量决定的（即粒子的性质在测量之前就已经决定了），还是由非定域的量子纠缠所导致（非定域代表可以超光速传播）的量子实验。它涉及到一个发射出两个纠缠粒子（如光子）的量子源S，一个粒子发送给Alice，另一个发送给Bob。

维也纳的物理学家想将这种思路拓展到用于检验“实量子力学”。在新的设计中，他们设置了涉及两个独立量子源（S和R）的场景，这两个不同的源会发送成对的纠缠粒子给三个不同的人——Alice、Bob、Charlie（A、B、C）。在这里，“纠缠的粒子”意味着这两个粒子是以一种在量子理论（复数和实数共存）允许，但在经典理论中不可能的方式相互关联的。

更具体来说，实验要求源S将两个粒子（如光子）分别发给Alice和Bob。Alice在接收到光子后可以对粒子进行测量；源R也做着同样的事情，只是它将两个纠缠光子发送给Bob和Charlie，Charlie也可以像Alice那样，对接收到的光子进行测量。而收到了两个光子的Bob，则会执行一种特殊类型的测量。

一个没有虚数的“实量子理论”，会预测出不同于标准量子物理理论的结果，从而让实验能够区分哪一个理论是正确的。实验的关键就在于找到一种合适的方法来测量Alice、Bob、Charlie的4个光子，而难点就在于要如何以现有的技术实现这一思想实验。

现在，这篇最初提交到arXiv的论文正式发表在了《自然》杂志上。两个中国研究团队利用先进的仪器和实验设置，证明了如果量子假设都摒弃其虚数部分而只使用实数，那么就会导致不同的预测结果。

其中一个科学家团队利用光子进行了这项实验，他们通过比较Alice、Charlie和Bob在许多测量中得到的结果，发现这些数据只能用含有复数的量子理论来描述。另一组物理学家以同样的概念为基础，用一台量子计算机进行了实验，得出了相同的结论——量子物理学需要复数。这两项实验都将于近期正式发布在《物理评论快报》上。

不过，有物理学家指出，新的结果并没有完全排除所有绕开了虚数的实理论，它仅仅排除了一部分基于实数的量子理论。尽管有这样的声音存在，但许多物理学家认为，新的发现是引人注目的，这些有趣的、发人深省的研究，将为物理学家更好地理解量子理论提供更好的工具。

文：小雨

参考来源：

https://www.icfo.eu/newsroom/news/article/5232

https://www.sciencenews.org/article/quantum-physics-imaginary-numbers-math-reality

https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4

https://journals.aps.org/prl/accepted/78079Y84Y081c97378657f0692b88fad215208b84

https://journals.aps.org/prl/accepted/0907bY08X531687d3971977071a6d5f742cb036ed

首图来源：szcylu / Pixabay